Bất đẳng thức tam giác là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng nhất trong hình học phẳng. Nó không chỉ thể hiện mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính hợp lệ của một tam giác. Bất đẳng thức này có ứng dụng sâu rộng trong toán học, vật lý, kỹ thuật và cả đời sống thực tiễn.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ về bất đẳng thức tam giác, bao gồm: khái niệm, chứng minh, các dạng mở rộng và ứng dụng thực tế.
1. Định nghĩa và nội dung của bất đẳng thức tam giác
Định nghĩa
Trong một tam giác bất kỳ \( \triangle ABC \), độ dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại và lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh đó. Cụ thể:
$ |b – c| < a < b + c, $
$ |a – c| < b < a + c, $
$ |a – b| < c < a + b. $
Trong đó: \( a, b, c \) lần lượt là độ dài ba cạnh của tam giác.
Ý nghĩa
– Bất đẳng thức tam giác là điều kiện cần và đủ để ba đoạn thẳng có thể tạo thành một tam giác.
– Nó thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa các cạnh của một tam giác. Nếu không thỏa mãn bất đẳng thức này, ba đoạn thẳng không thể tạo thành một tam giác.
2. Chứng minh bất đẳng thức tam giác
2.1. Chứng minh hình học
Giả sử tam giác \( \triangle ABC \), có các cạnh \( AB = c, BC = a, AC = b \). Để chứng minh bất đẳng thức tam giác, ta xét các trường hợp:
(1) Chứng minh \( a < b + c \):
– Xét đường gấp khúc \( AB + AC > BC \) trên mặt phẳng.
– Tổng độ dài hai cạnh \( AB + AC \) luôn lớn hơn độ dài cạnh thứ ba \( BC \) vì đường gấp khúc luôn dài hơn đường thẳng nối hai đầu mút.
– Do đó:$b + c > a.$
(2) Chứng minh \( a > |b – c| \):
– Xét trường hợp \( AB – AC \) hoặc \( AC – AB \):
– Hiệu độ dài hai cạnh của tam giác luôn nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
– Do đó: $ a > |b – c|. $
(3) Kết luận:
Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: $ |b – c| < a < b + c. $
2.2 Chứng minh đại số
Giả sử \( a, b, c \) là độ dài ba cạnh của tam giác. Từ định nghĩa độ dài cạnh tam giác, ta có: $ AB + AC > BC. $
Thay các giá trị \( AB = c, AC = b, BC = a \), ta suy ra: $ b + c > a. $
Tương tự, ta cũng chứng minh được các bất đẳng thức \( c + a > b \) và \( a + b > c \), từ đó hoàn thiện chứng minh.
3. Các dạng mở rộng của bất đẳng thức tam giác
Bất đẳng thức tam giác ngược
Bất đẳng thức tam giác ngược được áp dụng trong trường hợp các đoạn thẳng không tạo thành tam giác. Khi đó, nếu một đoạn thẳng \( a \) lớn hơn hoặc bằng tổng hai đoạn còn lại \( b + c \), thì ba đoạn \( a, b, c \) không tạo thành tam giác: $ a \geq b + c. $
Bất đẳng thức trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, bất đẳng thức tam giác vẫn được áp dụng nhưng có thêm mối quan hệ đặc biệt: $ c^2 = a^2 + b^2, $ trong đó \( c \) là cạnh huyền, \( a, b \) là hai cạnh góc vuông.
Bất đẳng thức trong tam giác nhọn
Trong một tam giác nhọn (\( \angle A, \angle B, \angle C < 90^\circ \)), bình phương độ dài một cạnh nhỏ hơn tổng bình phương hai cạnh còn lại: $ a^2 < b^2 + c^2. $
Bất đẳng thức trong tam giác tù
Trong một tam giác tù (\( \angle A > 90^\circ \)), bình phương độ dài cạnh đối diện góc tù lớn hơn tổng bình phương hai cạnh còn lại: $ a^2 > b^2 + c^2. $
4. Bài tập minh họa
Bài tập 1: Kiểm tra tính hợp lệ của tam giác
Cho ba đoạn thẳng \( a = 3, b = 4, c = 8 \). Hỏi chúng có thể tạo thành một tam giác không?
Lời giải
Kiểm tra bất đẳng thức tam giác:$a + b = 3 + 4 = 7 \not> 8.$
Do đó, ba đoạn thẳng này không tạo thành tam giác.
Bài tập 2: Tìm cạnh lớn nhất trong tam giác
Cho tam giác \( \triangle ABC \) có \( a = 5, b = 12 \). Biết rằng cạnh \( c \) là cạnh lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất của \( c \).
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức tam giác: $c < a + b = 5 + 12 = 17.$
Do đó, giá trị lớn nhất của \( c \) là \( c = 16 \).
Bài tập 3: Tam giác thỏa mãn điều kiện bất đẳng thức
Cho tam giác \( \triangle ABC \) có \( a = 7, b = 10 \). Tìm khoảng giá trị của \( c \).
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức tam giác: $|b – a| < c < b + a.$
Thay \( a = 7, b = 10 \):$|10 – 7| < c < 10 + 7.$
$3 < c < 17.$
Do đó, \( c \) nằm trong khoảng \( (3, 17) \).
File bài tập: tải về